Alçak geçiren sayısal filtre

Yukarıdaki devre alçak geçiren bir filtredir. Mesela ADC gibi analog bir girişin önüne koyularak, işaret ADC ye girmeden önce filtrelenebilir fakat bu işlem R ve C elemanları kullanılmadan yazılımsal olarak da yapılabilir.

Çok fazla detayına inmeden yazılımsal olarak alçak geçiren bir filtre nasıl yapılır bunu anlatmaya çalışayım.

Yukarıdaki devreyi bir gerilim bölücü olarak düşünüp çıkışındaki ( mavi nokta ) gerilimi veren matematiksel ifadeyi yazarsak.

Burada, Vout çıkış gerilimini ( mavi nokta ), Vin giriş gerilimini ( kırmızı nokta ), R dirençi, Xc ise kapasitif endüktansı temsil eder. Buradan s domain e geçersek. Bu ifade aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu eşitlik devrenin s domain deki ifadesidir. İfade için bilinear transfor kullanırsak, s yerine

ifadesini yazmamız gerekir. Burada T örnekleme periodudur.

Bu denklemi ayrık zamanda ( discrete time ) yazarsak

ifadesi elde edilir. Burada y filtrenin cevabı, x ise ADC değeridir. [n] şimdiki örneği, [n-1] ise bundan bir önceki örneği ifade eder.

Buradan yola çıkarak kesim frekansı yaklaşık 60Hz olan bir filtre tasarlayalım:

R yi 1K seçersek 60Hz için C 2,65µF dır. Örnek alma zamanını da 1.6ms ( 625Hz) seçersek yukarıdaki denklem

şeklini alır. Burada x[n] ADC nin şuanki değerini, x[n-1] ADC nin bir önceki aldığı değeri, y[n-1] ise filtrenin bir önceki değeri temsil eder.

Filtrenin katsayıları reel sayılar olduğundan floating point bir işlemci ile rahatlıkla hayata geçirilebilir. Fixed point bir işlemci kullanılacaksada hesaplamanın daha hızlı yapılabilmesi için Q formatları ( Q15 veya Q16 ) kullanılabilir.

Filter excel dosyası içerisindeki 60Hz filtre simulasyonu ile kabaca filtrenin nasıl çalıştırığına göz atılabilir. Excel dosyasının ilk sayfasında simulasyon bulunmaktadır. Bu sayfada Fgiriş olarak verilen değer değiştirilerek filtrenin farklı giriş frekanlarına cevabı sayfaya eklenmiş genlik-zaman grafiği ile izlenebilir. Giriş frekansı arttıkça filtrenin çıkış genliğini azalttığı görülmektedir.

Excel dosyanın diğer bir sayfasında ise filtrenin hesabı yer almaktadır. İstenilen kesim frekansı ve örnekleme periodu girilerek filtrenin katsayıları hesaplanabilir.